Soutenance de thèse

Clément Chasseboeuf soutiendra sa thèse intitulée « Méthodes mathématiques et numériques pour la modélisation des déformations et l’analyse de texture. Applications en imagerie médicale » le 23/11/2017 à 15h au Laboratoire de Mathématique Appliquée (LMA) – (Bâtiment H3 – site futuroscope) en salle 06.

Cette thèse est dirigée par Hermine Biermé  Julien Dambrine (LMA) et Rémy Guillevin (CHU de Poitiers).

 

Résumé : Cette thèse se focalise sur l’étude et la mise en application d’un algorithme réalisant l’appariement de deux images. Notre objectif est la mise en place d’une procédure numérique pour le recalage d’IRM cérébrales 3d obtenues en situation pré-opératoire et post-opératoire. Le problème d’appariement est abordé à travers la distinction usuelle entre, le modèle de déformation d’une part, le critère d’appariement d’autre part. Le modèle de déformation que nous utilisons se base sur la théorie de l’anatomie computationnelle. Les déformations sont donc représentées par un groupe de difféomorphismes, lui même engendré par un espace de Hilbert de champs de vecteurs. Le décalage entre les deux images est évalué en comparant les lignes de niveau de ces images. Pour cela, chaque ligne de niveau est représentée par un courant différentiel dans le dual d’un espace de champs de vecteurs. Si l’espace des champs est correctement choisi, on en déduit un critère d’appariement quantifiant la distance entre les deux images. Le critère obtenu est non local, rapide à calculer et se ramène à une mesure de la di􏰂érence entre les gradients des deux images. Dès lors, on se place dans l’ensemble des difféomorphismes pour rechercher une déformation réalisant un appariement correct entre les deux images. Pour effectuer cette recherche, on minimise le critère d’appariement en suivant la procédure appelée algorithme sous-optimal. Cette procédure, quand elle est envisagée selon la description eulérienne du mouvement, est entièrement représentée par une équation de transport. Cette description, associée à une formulation périodique de l’algorithme, nous donne une procédure numérique e􏰄cace et adaptée au traitement des données 3d. Les premières expériences numériques présentées sont des cas tests 2d, illustrant les caractéristiques principales de l’algorithme. Ces tests permettent aussi de mettre en valeur la proximité entre le résultat de l’algorithme sous-optimal et celui du LDDMM. L’algorithme est ensuite utilisé pour le recalage d’images IRM 3d de type pré-opératoire et post- opératoire. La procédure numérique menant à ces résultats, en particulier l’étape préliminaire de recalage rigide, est intégralement décrite. Une autre partie de nos travaux concerne la mise en évidence de certaines propriétés de l’algorithme. Pour cela, nous avons simplifié l’équation de transport représentant l’évolution de l’image au cours de l’algorithme. Il en résulte une équation de Hamilton-Jacobi qui est étudiée en utilisant la théorie des solutions de viscosité.

Le deuxième problème étudié dans cette thèse est celui de la détection de rupture dans la variance d’un signal aléatoire gaussien. C’est un problème de nature statistique, qui, en première approche, n’a pas de lien direct avec le traitement des images cérébrales. Nous espérons, cependant, qu’il puisse mener à la construction de méthodes innovantes pour la segmentation des zones tumorales en imagerie du cerveau. Les signaux considérés sont des suites gaussiennes, de moyenne nulle et stationnaires par morceaux. La spécificité de notre modèle vient du fait que nous considérons des données infill, ce qui signifie que la nature des données peut changer avec la taille de l’échantillon. L’estimateur de l’instant de rupture est défini comme le point maximisant une fonction de contraste calculée en utilisant l’échantillon. Nous étudions d’abord la convergence de la fonction de contraste en utilisant la théorie des chaos de Wiener. Nous étudions ensuite la convergence de l’estimateur de l’instant de rupture. Le modèle que nous considérons est assez général et autorise aussi la détection de rupture dans la corrélation de la séquence. L’application la plus directe concerne l’estimation de changement dans le paramètre de Hurst d’un mouvement brownien fractionnaire. Dans ces travaux, l’estimateur de l’instant de rupture dépend d’un paramètre p > 0, généralisant la situation plus habituelle où p = 2. Nous présentons des résultats illustrant le fait qu’il peut être intéressant de choisir p < 2.

 

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